а) \(\angle AKB\) – вписанный, опирающийся на дугу AB. \(\angle A{O_2}B\) – центральный, опирающийся на эту же дугу AB. Следовательно, \(\angle A{O_2}B = 2 \cdot \angle AKB.\)
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому \({O_1}{O_2} \bot AB.\) Так как \(A{O_2} = B{O_2}\) (как радиусы), то треугольник AO2B равнобедренный и высота O2P является биссектрисой. Тогда:
\(\angle A{O_2}P = \dfrac{1}{2}\angle A{O_2}B = \angle AKB = \angle MKB.\)
Аналогично, \(\angle AMB\) – вписанный, опирающийся на дугу AB. \(\angle A{O_1}B\) – центральный, опирающийся на эту же дугу AB. Следовательно, \(\angle A{O_1}B = 2 \cdot \angle AMB.\) Так как \(A{O_1} = B{O_1}\) (как радиусы), то треугольник AO1B равнобедренный и высота O1P является биссектрисой. Тогда:
\(\angle A{O_1}P = \dfrac{1}{2}\angle A{O_1}B = \angle AMB = \angle KMB.\)
Из этого следует, что треугольники BMK и \({O_1}A{O_2}\) подобны по двум углам \((\angle MKB = \angle A{O_2}{O_1},\) \(\angle KMB = \angle A{O_1}{O_2}).\)Что и требовалось доказать.
б) По условию \({O_1}A = 3,\) \({O_2}A = 4,\) \({O_1}{O_2} = 5.\) Так как \({3^2} + {4^2} = {5^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{O_1}{A^2} + {O_2}{A^2} = {O_1}{O_2}^2,\) то по обратной теореме Пифагора треугольник \({O_1}{O_2}A\) прямоугольный и \(\angle {O_1}A{O_2} = {90^ \circ }.\) Из пункта а) нам известно, что треугольники BMK и \({O_1}{O_2}A\) подобны. Тогда треугольник BMK также является прямоугольным и \(\angle KBM = {90^ \circ }.\)
Из подобия треугольников следует, что:
\(\dfrac{{{O_1}{O_2}}}{{MK}} = \dfrac{{A{O_2}}}{{BK}} = \dfrac{{A{O_1}}}{{BM}} = \dfrac{5}{7}.\)
Тогда:
\(BK = \dfrac{7}{5}A{O_2} = \dfrac{7}{5} \cdot 4 = \dfrac{{28}}{5},\,\,\,\,\,\,BM = \dfrac{7}{5}A{O_1} = \dfrac{7}{5} \cdot 3 = \dfrac{{21}}{5}.\)
Расстояние от точки B до прямой MK равно высоте треугольника MBK, проведённой из вершины прямого угла MBK к гипотенузе MK. Пусть эта высота равна h. Тогда:
\(h = \dfrac{{BK \cdot BM}}{{MK}} = \dfrac{{\dfrac{{28}}{5} \cdot \dfrac{{21}}{5}}}{7} = \dfrac{{84}}{{25}}\).
Ответ: \(\dfrac{{84}}{{25}}\).