а) По условию задачи \(\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}\).
Пусть \(AM = x,\) \(CN = y.\) Тогда \(AD = 3x,\) \(CD = 3y,\)\(MD = 2x,\)\(ND = 2y.\)
По свойству секущих:
\(DN \cdot DC = DM \cdot DA\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2x \cdot 3x = 2y \cdot 3y\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = y.\)
Из этого следует, что \(AD = CD\). Что и требовалось доказать.
б) \(\angle ABC = {90^ \circ }\) опирается на диаметр AC. Так как по условию задачи \(R = 3,\) то \(AC = 2R = 6\). Так как \(\angle AMC\) опирается на диаметр AC, то \(\angle AMC = {90^ \circ }.\)
По теореме Пифагора из треугольника ACM:
\(A{C^2} = A{M^2} + C{M^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,C{M^2} = 36-{x^2}.\)
По теореме Пифагора из треугольника DCM:
\(D{C^2} = D{M^2} + C{M^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,C{M^2} = 9{x^2}-4{x^2} = 5{x^2}.\)
Тогда:
\(36-{x^2} = 5{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,6{x^2} = 36\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt 6 .\)
Четырёхугольник ABCM является прямоугольником. Значит \(BC = AM = \sqrt 6 .\) Основание \(AD = 3\sqrt 6 \). Из треугольника ABC по теореме Пифагора:
\(A{C^2} = B{C^2} + A{B^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{6^2}-{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt {30} .\)
Следовательно, площадь трапеции будет равна:
\({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot AB = \dfrac{{\sqrt 6 + 3\sqrt 6 }}{2} \cdot \sqrt {30} {\rm{ }} = 2\sqrt 6 \cdot \sqrt {30} = 12\sqrt 5 .\)
Ответ: \(12\sqrt 5 \).