а) По свойству касательной и секущей с одной стороны\(M{C^2} = MB \cdot MA,\) а с другой \(M{D^2} = MB \cdot MA.\) Следовательно, \(M{C^2} = M{D^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MC = MD.\)
Что и требовалось доказать.
б) Пусть O1 и O2 –центры окружностей, H – проекция O1 на O2D. Радиусы O1C и O2D перпендикулярны прямой CD. Тогда четырёхугольник \({O_1}CDH\) – прямоугольник.
Общая хорда окружностей перпендикулярна линии их центров, поэтому \(AB \bot {O_1}{O_2}\).
Так как \({O_1}B = {O_1}A\), как радиусы, то \({O_1}N\) – биссектриса, медиана и высота в треугольнике \({O_1}AB\).
Пусть \(AN = NB = x\), тогда \(AB = BM = 2x\).
По свойству касательной и секущей:
\(M{C^2} = MB \cdot MA\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,MC = \sqrt {2x \cdot 4x} = 2\sqrt 2 x = MD.\)
\(CD = 2 \cdot CM = 4\sqrt 2 x = {O_1}H.\)
Из прямоугольного треугольника \({O_1}{O_2}H\) по теореме Пифагора:
\({O_1}{O_2}^2 = {O_2}{H^2} + {O_1}{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{O_1}{O_2} = \sqrt {4 + 32{x^2}} .\)
Из прямоугольных треугольников O1AN и O2AN:
\({O_1}N = \sqrt {1-{x^2}} ;\,\,\,\,\,\,\,{O_2}N = \sqrt {9-{x^2}} .\)
Тогда: \({O_1}{O_2} = {O_1}N + {O_2}N = \sqrt {1-{x^2}} + \sqrt {9-{x^2}} .\)
\(\sqrt {1-{x^2}} + \sqrt {9-{x^2}} = \sqrt {4 + 32{x^2}} \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1-{x^2} + 2\sqrt {{x^4}-10{x^2} + 9} + 9-{x^2} = 4 + 32{x^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^4}-10{x^2} + 9} = 17{x^2}-3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \dfrac{{23}}{{72}}.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,{O_1}{O_2} = \sqrt {4 + \dfrac{{32 \cdot 23}}{{72}}} = \sqrt {\dfrac{{128}}{9}} = \dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}\).
Ответ: \(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}\).