ЕГЭ Профиль. Окружности. Задача 52В (ЕГЭ 2023)

ОТВЕТ: \(\sqrt {10} .\)

а) Пусть O – центр большей окружности. Линия между центрами окружностей проходит через их точку касания, следовательно, OA – диаметр меньшей окружности. Так как OA является диаметром, а угол AKO вписанный и опирается на AO, то \(\angle AKO = {90^ \circ }.\) Отрезок OK – перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Так как \(OB = OA\) (как радиусы), то треугольник OAB равнобедренный. Следовательно, высота OK является также медианой основания AB и \(AK = KB\). Аналогично, угол OMA вписанный и опирается на AO, поэтому \(\angle AMO = {90^ \circ }.\) Так как \(OC = OA\) (как радиусы), то треугольник OAC равнобедренный. Следовательно, высота OM является также медианой основания AC и \(AM = MC\). Тогда KM – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть H – проекция точки O на хорду BC. Так как \(OB = OC,\) то треугольник OBC равнобедренный и H является серединой BC. Тогда из прямоугольного треугольника OHB находим:

\(OH = \sqrt {O{B^2}-B{H^2}} = \sqrt {{{10}^2}-{8^2}} = 6.\)

Пусть Q – центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Пусть F – проекция точки Q на OH. Значит:

\(OF = OH-FH = OH-QP = 6-5 = 1.\)

Четырёхугольник HFQP является прямоугольником. Из треугольника OQF:

\(Q{F^2} = Q{O^2}-O{F^2} = 25-1 = 24 = P{H^2}.\)

Из треугольника OHP:

\(O{P^2} = O{H^2} + P{H^2} = 36 + 24 = 60.\)

Тогда из треугольника APO:

\(AP = \sqrt {O{A^2}-O{P^2}} = \sqrt {100-60} = 2\sqrt {10} .\)

Отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно, \(AL = \dfrac{1}{2}AP = \sqrt {10} .\)

Ответ: \(\sqrt {10} .\)