а) Пусть точка O – центр окружности и \(EO \cap BC = F.\)
Так как DE – касательная, а OE – радиус, то \(\angle FED = {90^ \circ }.\) По условию задачи \(\angle BDE = {90^ \circ }\). Так как AC – диаметр, а угол ABC вписанный и опирается на AC, то \(\angle DBF = {90^ \circ }.\) Из этого следует, что четырёхугольник DBFE – прямоугольник. Тогда \(\angle BFE = {90^ \circ }.\)
Так как \(BO = OC\), то треугольник BOC равнобедренный. OF – высота, а, следовательно, и медиана в равнобедренном треугольнике. Тогда \(BF = FC = DE.\) Значит, \(DE = BF = \dfrac{1}{2}BC.\) Что и требовалось доказать.
б) Расстояние от точки E до прямой AC равно высоте треугольника AOE, проведенной из точки E к AO. Так как треугольник AOE равнобедренный, то высоты, проведенные к его боковым сторонам, равны. Тогда расстояние от точки E до прямой AC равно высоте треугольника AOE, проведенной из точки A к отрезку EO. Пусть это будет высота \(A{A_1}.\)
Так как \(A{A_1}\) – высота, то \(\angle A{A_1}E = {90^\circ }.\) Из этого следует, что четырехугольник \(A{A_1}ED\) – прямоугольник и \(A{A_1} = DE.\) По теореме о касательной и секущей:
\(D{E^2} = DA \cdot DB = 2 \cdot \left( {2 + 6} \right) = 16\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,DE = 4.\)
Следовательно, расстояние от точки E до AO равно 4.
Ответ: 4.