ЕГЭ Профиль. Окружности. Задача 55В (ЕГЭ 2024)

ОТВЕТ: \(\dfrac{{625}}{7}.\)

а) Точка O лежит на биссектрисе угла ANB, так как она равноудалена от AN и BN. Пусть AB пересекает с NO в точке M. Треугольники ANM и BNM равны: отрезки AN и BN равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки, углы ANM и BNM равны, поскольку NM – биссектриса угла ANB, MN – общая сторона. Следовательно, \(\angle AMN = \angle BMN\), но так как они также являются смежными, то они равны по 90°. Тогда NO перпендикулярна AB. Так как BC – диаметр окружности, то \(\angle BAC = {90^ \circ }\), значит, \(AC \bot AB.\) Отсюда следует, что AC параллельна NO – биссектрисе угла ANB. Что и требовалось доказать.

б) Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора найдем BC:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{48}^2} + {{14}^2}} = 50.\)

Треугольники ABC и MBO подобны с коэффициентом 2, значит, \(MO = 7,\,\,\,\,BO = 25\). В прямоугольном треугольнике NBO отрезок MO является проекцией катета BO на гипотенузу NO. Тогда:

\(B{O^2} = OM \cdot ON\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,NO = \dfrac{{B{O^2}}}{{MO}} = \dfrac{{{{25}^2}}}{7} = \dfrac{{625}}{7}.\)

Ответ: \(\dfrac{{625}}{7}.\)