а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда NO – биссектриса угла ANB. Также центр O лежит на диаметре BC.
Рассмотрим четырёхугольник ANBO. В нём \(\angle OAN = {90^ \circ } = \angle OBN,\) так как радиусы OA и OB, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным NA и NB соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника ANBO равна \({180^ \circ }.\) Следовательно, вокруг четырёхугольника ANBO можно описать окружность. Тогда \(\angle ANO = \angle ABO\) как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырёхугольника окружности. Таким образом:
\(\angle ANB = 2\angle ANO = 2\angle ABO = 2\angle ABC.\)
Что и требовалось доказать.
б) В прямоугольном треугольнике ABC имеем:
\({\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle ABC = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{14}}{{36}} = \dfrac{7}{{18}}.\)
Пусть H – точка пересечения AB и NO. Заметим, что \(NA = NB\) как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а значит, треугольник ANB равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины N также является высотой и медианой, то есть \(\angle AHN = {90^ \circ }\) и \(AH = BH = 18.\)
Тогда в прямоугольном треугольнике ANH имеем:
\(\dfrac{{AH}}{{NH}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle ANH = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle ABC = \dfrac{7}{{18}}.\)
\(NH = \dfrac{{18 \cdot AH}}{7} = \dfrac{{18 \cdot 18}}{7} = \dfrac{{324}}{7}.\)
Ответ: \(\dfrac{{324}}{7}.\)