55В (ЕГЭ 2025). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(a{\left( {x + \dfrac{9}{x}} \right)^2}-2\left( {x + \dfrac{9}{x}} \right)-49a + 14 = 0\) имеет ровно два различных решения.
ОТВЕТ: \(\left\{ {0;\dfrac{1}{7}} \right\} \cup \left( {\dfrac{2}{{13}};2} \right).\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\) Пусть \(x + \dfrac{9}{x} = t,\) тогда уравнение примет вид: \(a\,{t^2}-2t-49a + 14 = 0.\) Проанализируем при каких значениях переменной t уравнение \(x + \dfrac{9}{x} = t\) будет иметь корни. \(x + \dfrac{9}{x} = t\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2}-t\,x + 9 = 0,\\x \ne 0.\end{array} \right.\) Заметим, что \(x = 0\) не является корнем уравнения \({x^2}-t\,x + 9 = 0.\) Уравнение \({x^2}-t\,x + 9 = 0\) будет иметь решение, если: \(D = {t^2}-36 \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t \in \left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right).\) При \(t = \pm 6\) уравнение \({x^2}-t\,x + 9 = 0\) будет иметь одно решение, а при \(t \in \left( {-\infty ;-6} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\) два решения. Проанализируем уравнение, получившееся после замены: \(a\,{t^2}-2t-49a + 14 = 0.\) Если \(a = 0,\) то: \(-2t + 14 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t = 7.\) Так как \(t = 7 > 6,\) то при \(a = 0\) исходное уравнение будет иметь два решения. Следовательно, \(a = 0\) подходит. Если \(a \ne 0,\) то уравнение \(a\,{t^2}-2t-49a + 14 = 0\) является квадратным: \(D = 4-4a\left( {-49a + 14} \right) = 196{a^2}-56a + 4 = {\left( {14a-2} \right)^2}.\) Если \(14a-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = \dfrac{1}{7},\) то: \(t = \dfrac{2}{{2 \cdot \dfrac{1}{7}}} = 7.\) Так как \(t = 7 > 6,\) то при \(a = \dfrac{1}{7}\) исходное уравнение будет иметь два решения. Следовательно, \(a = \dfrac{1}{7}\) подходит. Если \(a \ne \dfrac{1}{7}\) и \(a \ne 0\) (то есть \(D > 0\)), то уравнение \(a\,{t^2}-2t-49a + 14 = 0\) будет иметь два корня: \(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{2 + 14a-2}}{{2a}} = 7,\\t = \dfrac{{2-14a + 2}}{{2a}} = \dfrac{{2-7a}}{a}.\end{array} \right.\) Так как один из корней \(t = 7 > 6,\) то при этом значении t уравнение \(x + \dfrac{9}{x} = t\) будет иметь два решения. Поэтому исходное уравнение будет иметь два решения, если: \(-6 < \dfrac{{2-7a}}{a} < 6\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2-7a}}{a} < 6,\\\dfrac{{2-7a}}{a} > -6\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2-13a}}{a} < 0,\\\dfrac{{2-a}}{a} > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{{13}}; + \infty } \right),\\a \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {\dfrac{2}{{13}};2} \right).\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения, если \(a \in \left\{ {0;\dfrac{1}{7}} \right\} \cup \left( {\dfrac{2}{{13}};2} \right).\) Ответ: \(\left\{ {0;\dfrac{1}{7}} \right\} \cup \left( {\dfrac{2}{{13}};2} \right).\) ЗАМЕЧАНИЕ: К тому, что уравнение \(x + \dfrac{9}{x} = t\) имеет решения при \(t \in \left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\) можно было прийти, построив график функции \(t = x + \dfrac{9}{x}\) с помощью производной.