\(\left| {4\cos x + a + 6} \right| + \left| {5\cos x + {a^2} + 1} \right| \le 10\cos x + \left| {{a^2} + a-2} \right| + 10.\)
Пусть \(\cos x = t,{\rm{ }}t \in [-1;1].\) Тогда неравенство примет вид:
\(\left| {4t + a + 6} \right| + \left| {5t + {a^2} + 1} \right| \le 10t + \left| {{a^2} + a-2} \right| + 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left| {4t + a + 6} \right| + \left| {5t + {a^2} + 1} \right|-10t-\left| {{a^2} + a-2} \right|-10 \le 0.\)
Функция \(f(t) = \left| {4t + a + 6} \right| + \left| {5t + {a^2} + 1} \right|-10t-\left| {{a^2} + a-2} \right|-10\) является убывающей, так как при раскрытии модулей сумма коэффициентов перед «t»: \( \pm 4 \pm 5-10 < 0\). Следовательно, графиком функции \(f(t)\) является убывающая ломаная. Поэтому исходное неравенство будет выполняться для любого x, если неравенство \(\left| {4t + a + 6} \right| + \left| {5t + {a^2} + 1} \right|-10t-\left| {{a^2} + a-2} \right|-10 \le 0\) будет выполняться для всех \(t \in [-1;1]\), а для этого должно выполняться условие:
\(f(-1) \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left| {a + 2} \right| + \left| {{a^2}-4} \right|-\left| {{a^2} + a-2} \right| \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left| {a + 2} \right|\left( {1 + \left| {a-2} \right|-\left| {a-1} \right|} \right) \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a = -2,\\\left\{ \begin{array}{l}a < 1,\\-a + 2 + a-1 + 1 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 \le a < 2,\\-a + 2-a + 1 + 1 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 2,\\a-2-a + 1 + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a = -2,\\\left\{ \begin{array}{l}a < 1,\\2 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 \le a < 2,\\a \ge 2,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 2,\\0 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left\{ {-2} \right\} \cup [2;\infty ).\)
Ответ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup [2;\infty )\).