Нестандартные уравнения и неравенства. Задача 12Аmath100admin44242025-04-01T08:15:59+03:00
Задача 12. Решите уравнение: \(3\arccos x-\pi \,x-\dfrac{\pi }{2} = 0.\)
Решение
\(3\arccos x-\pi x-\dfrac{\pi }{2} = 0\)
Запишем область допустимых значений: \(x \in \left[ {-1;\,1} \right].\)
\(3\arccos x-\pi x-\dfrac{\pi }{2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3\arccos x = \pi x + \dfrac{\pi }{2}.\)
Функция \({y_1} = 3\arccos x\) является убывающей, а линейная функция \({y_2} = \pi x + \dfrac{\pi }{2}\) является возрастающей, так как угловой коэффициент \(k = {\rm{\pi }}\). Следовательно, эти две функции либо пересекаются в одной точке, либо общих точек не имеют. Следовательно, уравнение либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Подбором заметим, что \(x = \dfrac{1}{2}\) является корнем уравнения.
Ответ: \(\dfrac{1}{2}.\)