\(2{\cos ^2}\dfrac{{{x^2} + x}}{6} = {2^x} + {2^{-x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2{\cos ^2}\dfrac{{{x^2} + x}}{6} = {2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\). Поэтому правая часть уравнения \({2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}}\) принимает значения \(\left[ {2;\, + \infty } \right),\) а левая часть \(2{\cos ^2}\dfrac{{{x^2} + x}}{6}\) соответственно \(\left[ {-2;\,2} \right]\). Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\cos ^2}\dfrac{{{x^2} + x}}{6} = 2,\\{2^x} + {2^{-x}} = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\dfrac{{{x^2} + x}}{6} = 1,\\{2^x} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 0.\)
Ответ: 0.