\({3^{\left| {\sin \sqrt x } \right|}} = \left| {\cos x} \right|\)
Так как \(0 \le \left| {\sin \sqrt x } \right| \le 1\), то левая часть исходного уравнения \({3^{\left| {\sin \sqrt x } \right|}}\) принимает значения \(\left[ {1;\,3} \right],\) а правая часть \(\left| {\cos x} \right|\) соответственно \(\left[ {0;\,1} \right].\) Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\cos x} \right| = 1,}\\{{3^{\left| {\sin \sqrt x } \right|}} = 1}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\cos x} \right| = 1,\,\,\,\,}\\{\left| {\sin \sqrt x } \right| = 0}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 0,\\\sin \sqrt x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{\pi }}k,\\\sin \sqrt x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Из решений \(x = \pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z\), только \(x = 0\) удовлетворяет уравнению \(\sin \sqrt x = 0.\) Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень \(x = 0.\)
Ответ: 0.