\(\sin (x + 4a) + \sin \left( {\dfrac{{{x^2}-6x-7a}}{2}} \right) = 4x-{x^2}-a\)
Пусть \(\dfrac{{{x^2}-6x-7a}}{2} = y,\) тогда \({x^2} = 2y + 6x + 7a\).
\(\sin (x + 4a) + \sin y = 4x-2y-6x-7a-a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2y + \sin y = 2(-x-4a) + \sin (-x-4a).\)
Рассмотрим функцию \(f(t) = 2t + \sin t\).
Так как \(f'(t) = 2 + \cos t > 0\) при \(t \in R\), то \(f(t)\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому равенство \(2y + \sin y = 2(-x-4a) + \sin (-x-4a)\) возможно только, если \(y = -x-4a.\) Тогда с учётом \(\dfrac{{{x^2}-6x-7a}}{2} = y,\) получим:
\(\dfrac{{{x^2}-6x-7a}}{2} = -x-4a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2}-4x + a = 0.\)
Полученное квадратное уравнение, а вместе с ним и исходное не имеет действительных решений, если его дискриминант будет отрицательным:
\(D = 16-4a < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a > 4.\)
Ответ: \((4;\infty )\).