\({2^{-\cos x}} = {\log _\pi }x + {\log _x}\pi \)
Запишем область допустимых значений: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0,\\x \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {0;\,1} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right).\)
\({2^{-\cos x}} = {\log _\pi }x + {\log _x}\pi \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{2^{-\cos x}} = {\log _\pi }x + \dfrac{1}{{{{\log }_\pi }x}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\) и \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \le -2,\) если \(f\left( x \right) < 0\). Поэтому правая часть уравнения \({\log _\pi }x + \dfrac{1}{{{{\log }_\pi }x}}\) принимает значения \(\,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right),\) а левая часть \({2^{-\cos x}}\) соответственно \(\left[ {\dfrac{1}{2};\,2} \right]\). Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{-\cos x}} = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_\pi }x + \dfrac{1}{{{{\log }_\pi }x}} = 2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cos x = -1,\\{\log _\pi }x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cos x = -1,\\x = {\rm{\pi }}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = {\rm{\pi }}.\)
Ответ: \({\rm{\pi }}{\rm{.}}\)