Задача 16. Решите уравнение: \({5^{\,\left| {\,1-4{x^2}\,} \right|}} = \sin \pi \,x.\)
Решение
\({5^{\left| {1-4{x^2}} \right|}} = \sin \pi x\)
Так как \(\left| {1-4{x^2}} \right| \ge 0\), то левая часть \({5^{\left| {1-4{x^2}} \right|}} \ge 1\), а правая часть \(-1 \le \sin \pi x \le 1\). Поэтому исходное уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\left| {1-4{x^2}} \right|}} = 1,}\\{\sin \pi x = 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| {1-4{x^2}} \right| = 0,\\\pi x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + 2{\rm{\pi }}k,\,\,\,k \in Z\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2},\\x = -\dfrac{1}{2},\end{array} \right.\\x = \dfrac{1}{2} + 2k,\,\,\,k \in Z\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{2}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{2}.\)