\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + 2 = 0,\\{\sin ^2}\pi a + {\sin ^2}\pi x + {2^{\left| y \right|}} = \left| {\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right|.\end{array} \right.\)
Так как \({\sin ^2}\pi a \ge 0,{\rm{ }}{\sin ^2}\pi x \ge 0,{\rm{ }}{2^{\left| y \right|}} \ge 1\), то левая часть второго уравнения принимает значения \(\left[ {1;\,\infty } \right)\), а его правая часть \(\left[ {-1;\,1} \right]\). Поэтому второе уравнение будет иметь решения, если выполнятся условия:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\pi a = 0,\\{\sin ^2}\pi x = 0,\\{2^{\left| y \right|}} = 1,\\\left| {\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right| = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in Z,\\x = k,{\rm{ }}\,k \in Z\\y = 0,\\x = 1 + 2n,{\rm{ }}n \in Z\end{array} \right.{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}a \in Z,\\y = 0,\\x = 1 + 2n,{\rm{ }}n \in Z.\end{array} \right.\)
Первое уравнение \({x^2} + a\,x + 2 = 0\) имеет целые коэффициенты и, чтобы исходная система имела решение, это квадратное уравнение должно иметь целый корень\({x_1} = 1 + 2n,{\rm{ }}n \in Z\), который является нечётным.
По теореме Виета \({x_1} + {x_2} = -a\). Следовательно, \({x_2}\) – также должен быть целым, а из равенства \({x_1} \cdot {x_2} = 2\) следует, что \({x_1} = 1\) или \({x_1} = -1\).
При \({x_1} = 1\) получаем \(1 + a + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = -3.\)
При \({x_1} = -1\) получаем \(1-a + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = 3.\)
Ответ: \( \pm 3\).