\({2^{1-\left| {x-1} \right|}} = {x^2}-2x + 3\)
Так как \(1-\left| {x-1} \right| \le 1\), то левая часть \({2^{1-\left| {x-1} \right|}} \le 2\), а правая часть \({x^2}-2x + 3 = {\left( {x-1} \right)^2} + 2 \ge 2\). Поэтому исходное уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{1-\left| {x-1} \right|}} = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}-2x + 3 = 2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| {x-1} \right| = 0,\\{\left( {x-1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\)
Ответ: 1.