\({2^{1-\left| {4x-1} \right|}} = {\rm{tg}}\pi x{\rm{ + ctg}}\pi x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{2^{1-\left| {4x-1} \right|}} = {\rm{tg}}\pi x{\rm{ + }}\dfrac{1}{{{\rm{tg}}\pi x}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\) и \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \le -2,\) если \(f\left( x \right) < 0\). Поэтому правая часть уравнения \({\rm{tg}}\pi x{\rm{ + }}\dfrac{1}{{{\rm{tg}}\pi x}}\) принимает значения \(\,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right),\) а левая часть \({2^{1-\left| {4x-1} \right|}}\) соответственно \(\,\left( {0;\,2} \right]\). Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{1-\left| {4x-1} \right|}} = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\pi x + \dfrac{1}{{{\rm{tg}}\pi x}} = 2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4},\\{\rm{tg}}\pi x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{4}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{4}.\)