Профиль №18. Применение монотонности и ограниченности функций к решению уравнений и неравенств. Задача 2Вmath100admin44242024-07-09T09:42:02+03:00
2В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^{10}} + {\left( {a-2x} \right)^5} + {x^2} + a = 2x\) имеет хотя бы один корень.
Решение
\({x^{10}} + {(a-2x)^5} + {x^2} + a = 2x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{({x^2})^5} + {x^2} = {(2x-a)^5} + 2x-a.\)
Рассмотрим функцию \(f(t) = {t^5} + t\), которая является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, так как \(f'(t) = 5{t^4} + 1 > 0\) при \(t \in R\). В силу возрастания функции \(y = f\left( t \right)\) равенство \(f\left( b \right) = f\left( c \right)\) возможно только в том случае, если \(b = c\). В нашем примере \(b = {x^2},\,\,\,\,c = 2x-a.\) Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде: \({x^2} = 2x-a\) или \({x^2}-2x + a = 0\). Для того чтобы последнее уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен: \(D = 4-4a \ge 0,\) откуда \(a \le 1.\)
Ответ: \((-\infty ;1]\).