\(\sqrt {2 + {{\cos }^2}2x} = \sin 3x-\cos 3x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {2 + {{\cos }^2}2x} = \sqrt 2 \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 3x-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 3x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {2 + {{\cos }^2}2x} = \sqrt 2 \left( {\sin 3x\cos \dfrac{\pi }{4}-\cos 3x\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {2 + {{\cos }^2}2x} = \sqrt 2 \sin \left( {3x-\dfrac{\pi }{4}} \right).\)
Так как \(2 \le 2 + {\cos ^2}2x \le 3\), то левая часть принимает значения \(\left[ {\sqrt 2 ;\,\sqrt 3 } \right],\) а правая часть \(\sqrt 2 \sin \left( {3x-\dfrac{\pi }{4}} \right)\) соответственно \(\left[ {-\sqrt 2 ;\,\sqrt 2 } \right].\) Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {2 + {{\cos }^2}2x} = \sqrt 2 ,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt 2 \sin \left( {3x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 }\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x = 0,\\\sin \left( {3x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + \dfrac{{{\rm{\pi }}k}}{2},\,\,\,k \in Z\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}n}}{3},\,\,\,n \in Z\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 2{\rm{\pi }}m,\,\,\,m \in Z.\)
Ответ: \(x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi m,\,\,\,\,\,\,m\, \in \,Z.\)