\({\log _3}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) = {2^{x-1}} + {2^{1-x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _3}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) = {2^{x-1}} + \dfrac{1}{{{2^{x-1}}}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\). Поэтому правая часть уравнения \({2^{x-1}} + \dfrac{1}{{{2^{x-1}}}}\) принимает значения \(\left[ {2;\, + \infty } \right),\) а левая часть:
\({\log _3}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) = {\log _3}\left( {9-{{\left( {x-1} \right)}^2}} \right) \le {\log _3}9 = 2\).
Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) = 2,}\\{{2^{x-1}} + \dfrac{1}{{{2^{x-1}}}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}8 + 2x-{x^2} = 9,\\{2^{x-1}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1,\\x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\)
Ответ: 1.