\(\sqrt[4]{{{a^2}-2a-8}} + \left| {{{\lg }^2}x-\lg x + a} \right| = 0\)
Так как \(\sqrt[4]{{{a^2}-2a-8}} \ge 0\) и \(\left| {{{\lg }^2}x-\lg x + a} \right| \ge 0\), то уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{{a^2}-2a-8}} = 0,\\\left| {{{\lg }^2}x-\lg x + a} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = -2,\\a = 4,\end{array} \right.\\\left| {{{\lg }^2}x-\lg x + a} \right| = 0.\end{array} \right.\)
Если \(a = -2,\) то:
\(\left| {{{\lg }^2}x-\lg x-2} \right| = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\lg ^2}x-\lg x-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,1,\\x = 100.\end{array} \right.\)
То есть, при \(a = -2,\) исходное уравнение имеет решение.
Если \(a = {\rm{4}}\), то:
\(\left| {{{\lg }^2}x-\lg x + 4} \right| = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\lg ^2}x-\lg x + 4 = 0.\)
Дискриминант последнего уравнения отрицательный, поэтому при \(a = {\rm{4}}\) исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: \(-2.\)