\({\log _3}\dfrac{{18}}{{12{x^2} + 36x + 29}} = 3{(x-a + 3)^2} + 4{a^2}-12a + 11\)
Запишем область допустимых значений:
\(\dfrac{{18}}{{12{x^2} + 36x + 29}} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,12{x^2} + 36x + 29 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in R.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = \dfrac{{18}}{{12{x^2} + 36x + 29}}\), которая будет принимать наибольшее значение, если \(12{x^2} + 36x + 29\) будет наименьшим, то есть при \({x_B} = -\dfrac{{36}}{{2 \cdot 12}} = -\dfrac{3}{2}.\)
\(f\left( {-\dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{18}}{{27-54 + 29}} = 9.\)
Тогда левая часть исходного уравнения принимает наибольшее значение \({\log _3}9 = 2\), то есть левая часть принимает значение \((-\infty ;2]\).
Следовательно, уравнение имеет решение, если:
\(3{(x-a + 3)^2} + 4{a^2}-12a + 11 \le 2.\)
Так как \(3{(x-a + 3)^2} \ge 0\), то:
\(4{a^2}-12a + 11 \le 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{(2a-3)^2} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = \dfrac{3}{2}.\)
Если \(a = \dfrac{3}{2}\), то уравнение примет вид:
\({\log _3}\dfrac{{18}}{{12{x^2} + 36x + 29}} = 3{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2.\)
Решением последнего уравнения является \(x = -\dfrac{3}{2}\).
Ответ: \(\dfrac{3}{2}\).