Задача 26. Решите уравнение: \({\log _3}\left( {4-\left| {\,\cos \dfrac{{4x}}{3}\,} \right|\,} \right) = \sin x.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{{3\pi }}{2} + 6\pi \,n,\;\;n \in Z.\)
Решение
\({\log _3}\left( {4-\left| {\cos \dfrac{{4x}}{3}} \right|} \right) = \sin x\)
Так как \(3 \le 4-\left| {\cos \dfrac{{4x}}{3}} \right| \le 4\), то левая часть \(1 \le {\log _3}\left( {4-\left| {\cos \dfrac{{4x}}{3}} \right|} \right) \le {\log _3}4\), а правая часть \(-1 \le \sin x \le 1\). Поэтому равенство возможно, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {4-\left| {\cos \dfrac{{4x}}{3}} \right|} \right) = 1,}\\{\sin x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{\rm{\pi }}k}}{4},\,\,\,k \in Z\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + 2{\rm{\pi }}n,\,\,\,n \in Z\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\dfrac{{3\pi }}{2} + 6\pi m,\,\,\,\,m\, \in \,Z.\)
Ответ: \(-\dfrac{{3\pi }}{2} + 6\pi m,\,\,\,\,m\, \in \,Z.\)