\(y = 3 + 3x-3\left| {a\,x + a-2} \right| + \left| {a\,x + a-6} \right| + \left| {x + 4} \right|\)
Данная функция определена на всей числовой прямой и при любых значениях a является кусочно-линейной. Точки: \(\dfrac{2}{a}-1;{\rm{ }}\dfrac{6}{a}-1;{\rm{ }}-4\) разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых функция является линейной. Так как просят найти наибольшее значение a, то рассмотрим случай \(a > 0\). Тогда: \(-4 < \dfrac{2}{a}-1 < \dfrac{6}{a}-1\). При раскрытии модулей получим:
если \(x < -4;{\rm{ }}\,\,\,y = 3 + 3x + 3ax + 3a-6-ax-a + 6-x-4 = (2a + 2)x + 2a-1;\)
если \(-4 \le x < \dfrac{2}{a}-1;{\rm{ }}\,\,y = 3 + 3x + 3ax + 3a-6-ax-a + 6 + x + 4 = (2a + 4)x + 2a + 7;\)
если \(\dfrac{2}{a}-1 \le x < \dfrac{6}{a}-1;{\rm{ }}\,\,y = 3 + 3x-3ax-3a + 6-ax-a + 6 + x + 4 = (4-4a)x-4a + 19;\)
если \(x \ge \dfrac{6}{a}-1;{\rm{ }}\,\,y = 3 + 3x-3ax-3a + 6 + ax + a-6 + x + 4 = (4-2a)x-2a + 7.\)
Для того чтобы функция была неубывающей на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы все полученные значения угловых коэффициентов прямых были неотрицательными:
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0,\\2a + 2 \ge 0,\\2a + 4 \ge 0,\\4-4a \ge 0,\\4-2a \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a > 0,\\a \ge -1,\\a \ge -2,\\a \le 1,\\a \le 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in (0;1].\)
Так как просят найти a наибольшее, то \(a = 1\).
Ответ: 1.