\(\sin \dfrac{\pi }{{{x^2} + 6x + 13}} = \dfrac{{{{\log }_3}\left| x \right| + {{\log }_{\left| x \right|}}3}}{{2\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sqrt 2 \sin \dfrac{\pi }{{{x^2} + 6x + 13}} = {\log _3}\left| x \right| + \dfrac{1}{{{{\log }_3}\left| x \right|}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\) и \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \le -2,\) если \(f\left( x \right) < 0\). Поэтому правая часть уравнения \({\log _3}\left| x \right| + \dfrac{1}{{{{\log }_3}\left| x \right|}}\) принимает значения \(\,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right).\) Рассмотрим левую часть:
\({x^2} + 6x + 13 = {\left( {x + 3} \right)^2} + 4 \ge 4.\)
Тогда: \(0 < \dfrac{\pi }{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 4}} \le \dfrac{\pi }{4}\) и \(0 < 2\sqrt 2 \sin \dfrac{\pi }{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 4}} \le 2.\)
Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 2 \sin \dfrac{\pi }{{{x^2} + 6x + 13}} = 2,}\\{{{\log }_3}\left| x \right| + \dfrac{1}{{{{\log }_3}\left| x \right|}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{{{x^2} + 6x + 13}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\\{\log _3}\left| x \right| = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{{{x^2} + 6x + 13}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\,}\\{x = -3}\end{array}} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -3.\)
Ответ: \(-3.\)