\(y = -7 + 3x-3\left| {a\,x-1} \right| + \left| {a\,x-25} \right| + \left| {x-7} \right|\)
Данная функция определена на всей числовой прямой и при любых значениях a является кусочно-линейной. Точки: \(\dfrac{1}{a};{\rm{ }}\dfrac{{25}}{a};{\rm{ 7}}\) разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых функция является линейной. Так как просят найти наименьшее значение a, то рассмотрим случаи \(a < 0\). Тогда \(\dfrac{{25}}{a} < \dfrac{1}{a} < 7\). При раскрытии модулей получим:
если \(x < \dfrac{{25}}{a};{\rm{ }}y = -7 + 3x-3ax + 3 + ax-25-x + 7 = (2-2a)x-22;\)
если \(\dfrac{{25}}{a} \le x < \dfrac{1}{a};{\rm{ }}y = -7 + 3x-3ax + 3-ax + 25-x + 7 = (2-4a)x + 28;\)
если \(\dfrac{1}{a} \le x < 7;{\rm{ }}y = -7 + 3x + 3ax-3-ax + 25-x + 7 = (2 + 2a)x + 22;\)
если \(x \ge 7;{\rm{ }}y = -7 + 3x + 3ax-3-ax + 25 + x-7 = (4 + 2a)x + 8.\)
Для того чтобы функция была неубывающей на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы все полученные значения угловых коэффициентов прямых были неотрицательными:
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\2-2a \ge 0,\\2-4a \ge 0,\\2 + 2a \ge 0,\\4 + 2a \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\a \le 1,\\a \le 0,5,\\a \ge -1,\\a \ge -2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in [-1;0).\)
Так как просят найти a наименьшее, то \(a = -1\).
Ответ: –1.