\(4|x + a| + 2|x-a| + 2 = x + 9|x-2| + 2|3a + 2|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x + 9|x-2| + 2|3a + 2|-4|x + a|-2|x-a|-2 = 0.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = x + 9|x-2| + 2|3a + 2|-4|x + a|-2|x-a|-2\), которая является непрерывной.
Если \(x > 2\), то \(f(x) = 10x-20 + 2|3a + 2|-4|x + a|-2|x-a|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(10 \pm 4 \pm 2 > 0\).
Если \(x < 2\), то \(f(x) = -8x + 16 + 2|3a + 2|-4|x + a|-2|x-a|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-8 \pm 4 \pm 2 < 0\).
Поэтому точка \(x = 2\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь 2 решения, если \(f(2) < 0\).
\(f(2) = 2|3a + 2|-4|a + 2|-2|a-2| < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < -2,\\-6a-4 + 4a + 8 + 2a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-2 \le a < -\dfrac{2}{3},\\-6a-4-4a-8 + 2a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-\dfrac{2}{3} \le a < 2,\\6a + 4-4a-8 + 2a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 2,\\6a + 4-4a-8-2a + 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < -2,\\0 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-2 \le a < -\dfrac{2}{3},\\a > -2,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-\dfrac{2}{3} \le a < 2,\\a < 2,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 2\\0 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}-2 < a < -\dfrac{2}{3},\\-\dfrac{2}{3} \le a < 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left( {-2;\,2} \right).\)
Ответ: \((-2;2)\).