\(3|x-a| + 4|x + a| = x + 13|x + 1| + |7a-1| + 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x + 13|x + 1| + |7a-1| + 1-3|x-a|-4|x + a| = 0.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = x + 13|x + 1| + |7a-1| + 1-3|x-a|-4|x + a|\), которая является непрерывной.
Если \(x > -1\), то \(f(x) = 14x + 14 + |7a-1|-3|x-a|-4|x + a|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(14 \pm 3 \pm 4 > 0\).
Если \(x < -1\), то \(f(x) = -12x-12 + |7a-1|-3|x-a|-4|x + a|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-12 \pm 3 \pm 4 < 0\).
Поэтому точка \(x = -1\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь 2 решения, если \(f(-1) < 0\).
\(f(-1) = \,\left| {7a-1} \right|-3|a + 1|-4|a-1| < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < -1,\\-7a + 1 + 3a + 3 + 4a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-1 \le a < \dfrac{1}{7},\\-7a + 1-3a-3 + 4a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{7} \le a < 1,\\7a-1-3a-3 + 4a-4 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 1,\\7a-1-3a-3-4a + 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < -1,\\0 < 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}-1 \le a < \dfrac{1}{7},\\a > -1,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{7} \le a < 1,\\a < 1,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 1,\\0 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}-1 < a < \dfrac{1}{7},\\\dfrac{1}{7} \le a < 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left( {-1;\,1} \right).\)
Ответ: \((-1;1)\).