\(x + 2|x-3|-3|x-a-4| = 7|x-a|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,7|x-a|-x-2|x-3| + 3|x-a-4| = 0.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = 7|x-a|-x-2|x-3| + 3|x-a-4|\), которая является непрерывной.
Если \(x > a\), то \(f(x) = 6x-7a-2|x-3| + 3|x-a-4|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(6 \pm 2 \pm 3 > 0\).
Если \(x < a\), то \(f(x) = -8x + 7a-2|x-3| + 3|x-a-4|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-8 \pm 2 \pm 3 < 0\).
Поэтому точка \(x = a\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь хотя бы 1 корень, если \(f(a) \le 0\).
\(f(a) = -a-2|a-3| + 12 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2|a-3| \ge 12-a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}2a-6 \ge 12-a,\\2a-6 \le a-12\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a \ge 6,\\a \le -6\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in (-\infty ;-6] \cup [6;\infty ).\)
Ответ: \((-\infty ;-6] \cup [6;\infty )\).