\(11|x + a| + 2x + 3|x-5| = 5|x + a-4|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,11|x + a| + 2x + 3|x-5|-5|x + a-4| = 0.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = 11|x + a| + 2x + 3|x-5|-5|x + a-4|\), которая является непрерывной.
Если \(x > -a\), то \(f(x) = 13x + 11a + 3|x-5|-5|x + a-4|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(13 \pm 3 \pm 5 > 0\).
Если \(x < -a\), то \(f(x) = -9x-11a + 3|x-5|-5|x + a-4|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-9 \pm 3 \pm 5 < 0\).
Поэтому точка \(x = -a\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь хотя бы 1 решение, если \(f(-a) \le 0\).
\(f(-a) = -2a + 3|a + 5|-20 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3|a + 5| \le 2a + 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3a + 15 \le 2a + 20,\\3a + 15 \ge -2a-20\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \le 5,\\a \ge -7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in [-7;5].\)
Ответ: \([-7;5]\).