\(x + 1 + 2|x-2| = 8|x-a + 2| + 3|x-a-2|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8|x-a + 2| + 3|x-a-2|-x-1-2|x-2| = 0.\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = 8|x-a + 2| + 3|x-a-2|-x-1-2|x-2|\), которая является непрерывной.
Если \(x > a-2\), то \(f(x) = 7x-8a + 15 + 3|x-a-2|-2|x-2|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(7 \pm 3 \pm 2 > 0\).
Если \(x < a-2\), то \(f(x) = -9x + 8a-17 + 3|x-a-2|-2|x-2|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-9 \pm 3 \pm 2 < 0\).
Поэтому точка \(x = a-2\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь единственный корень, если \(f(a-2) = 0\).
\(f(a-2) = 12-a + 2-1-2|a-4| = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,13-a-2|a-4| = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 4,\\13-a + 2a-8 = 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 4,\\13-a-2a + 8 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 4,\\a = -5,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 4\\a = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a = -5,\\a = 7.\end{array} \right.\)
Ответ: \(-5;\,\,\,7\).