\(17|x-a| + |{a^2}-7x + 12| + |{a^2} + 2x-15|-|2{a^2}-6a + x-3|-\left| {4|x|-|x + 3a|} \right| = 0\)
Рассмотрим функцию
\(f(x) = 17|x-a| + |{a^2}-7x + 12| + |{a^2} + 2x-15|-|2{a^2}-6a + x-3|-\left| {4|x|-|x + 3a|} \right|,\)
которая является непрерывной.
Если \(x > a\), то:
\(f(x) = 17x-17a + |{a^2}-7x + 12| + |{a^2} + 2x-15|-|2{a^2}-6a + x-3|-\left| {4|x|-|x + 3a|} \right|\)
возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(17 \pm 7 \pm 2 \pm 1 \pm 4 \pm 1 > 0\).
Если \(x < a\), то:
\(f(x) = -17x + 17a + |{a^2}-7x + 12| + |{a^2} + 2x-15|-|2{a^2}-6a + x-3|-\left| {4|x|-|x + 3a|} \right|\)
убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-17 \pm 7 \pm 2 \pm 1 \pm 4 \pm 1 < 0\).
Поэтому точка \(x = a\) является точкой минимума и исходное уравнение будет иметь хотя бы 1 корень, если \(f(a) \le 0\):
\(f(a) = |{a^2}-7a + 12| + |{a^2} + 2a-15|-|2{a^2}-5a-3| \le 0.\)
Заметим, что: \({a^2}-7a + 12 + {a^2} + 2a-15 = 2{a^2}-5a-3.\)
Неравенство \(|b| + |c| \le |b + c|\) равносильно совокупности двух систем:
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b \le 0,\\c \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge 0,\\c \ge 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2}-7a + 12 \le 0,\\{a^2} + 2a-15 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2}-7a + 12 \ge 0,\\{a^2} + 2a-15 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3 \le a \le 4,\\-5 \le a \le 3,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \in (-\infty ;3] \cup [4;\infty ),\\a \in (-\infty ;-5] \cup [3;\infty )\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a = 3,\\a \in (-\infty ;-5] \cup [4;\infty ).\end{array} \right.\)
Ответ: \((-\infty ;-5] \cup \left\{ 3 \right\} \cup [4;\infty )\).