\({\cos ^2}x + \cos x\cos y + {\cos ^2}y = 0\)
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(\cos x\):
\(D = {\cos ^2}y-4{\cos ^2}y = -3{\cos ^2}y.\)
Если \(\cos y \ne 0\), то \(D < 0\) и уравнение не будет иметь решений.
Если \(\cos y = 0\), то и \(\cos x = 0\):
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x = 0,\\\cos y = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + \pi n,\\y = \dfrac{\pi }{2} + \pi k\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,n,k \in Z.\)
Ответ: \(\left( {\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\,n;\,\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}\,k} \right),\;\;n,k \in Z.\)