\(5|x-2| + 3|x + a| \le \sqrt {4-{y^2}} + 7\)
Запишем область допустимых значений: \(4-{y^2} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y \in [-2;2].\)
Правая часть исходного неравенства \(\sqrt {4-{y^2}} + 7\) принимает значения: \([7;9].\)
Рассмотрим функцию \(f(x) = 5|x-2| + 3|x + a|\), которая является непрерывной.
Если \(x > 2\), то \(f(x) = 5x-10 + 3|x + a|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(5 \pm 3 > 0\).
Если \(x < 2\), то \(f(x) = -5x + 10 + 3|x + a|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-5 \pm 3 < 0\).
Следовательно, \(x = 2\) является точкой минимума. Исходное неравенство будет иметь хотя бы 1 решение, если \(f(2) \le 9\).
\(f(2) = 3|a + 2| \le 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,|a + 2| \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-3 \le a + 2 \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-5 \le a \le 1.\)
Ответ: \([-5;1]\).