Задача 37. Решите уравнение: \(2\sqrt 2 \left( {\,\sin x + \cos x\,} \right)\cos y = 3 + \cos 2y.\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + 2\pi \,n;\,2\pi \,k} \right),\) \(\left( {\,\dfrac{{5\pi }}{4} + 2\pi \,n;\,\pi + 2\pi \,k} \right),\;\;n,k \in Z.\)
\(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos y = 3 + \cos 2y\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos y = 2 + 2{\cos ^2}y.\) Так как \(\cos y = 0\) не является решением уравнения, то разделим обе части полученного уравнения на \(\cos y\): \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) = \dfrac{{2 + 2{{\cos }^2}y}}{{\cos y}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) = \dfrac{1}{{\cos y}} + \cos y\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\cos y}} + \cos y.\) Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\) и \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \le -2,\) если \(f\left( x \right) < 0\). Поэтому правая часть уравнения \(\dfrac{1}{{\cos y}} + \cos y\) принимает значения \(\,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right),\) а левая часть \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) соответственно \(\left[ {-2;\,2} \right]\). Поэтому уравнение будет иметь решение, если: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2,\\\dfrac{1}{{\cos y}} + \cos y = 2,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = -2,\\\dfrac{1}{{\cos y}} + \cos y = -2\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1,\\\cos y = 1,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = -1,\\\cos y = -1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 2{\rm{\pi }}n,\\y = 2{\rm{\pi }}k,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{4} + 2{\rm{\pi }}n,\\y = {\rm{\pi }} + 2{\rm{\pi }}k,\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,n,k \in Z.\) Ответ: \(\left( {\dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 2{\rm{\pi }}\,n;\,2{\rm{\pi }}\,k} \right),\) \(\left( {\,\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{4} + 2{\rm{\pi }}\,n;\,{\rm{\pi }} + 2{\rm{\pi }}\,k} \right),\;\;n,k \in Z.\)