\(5|x-a| + 3|x + 2| \le \sqrt {9-{y^2}} + 6\)
Запишем область допустимых значений: \(9-{y^2} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y \in [-3;3].\)
Правая часть исходного неравенства \(\sqrt {9-{y^2}} + 6\) принимает значения: \([6;9]\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = 5|x-a| + 3|x + 2|\), которая является непрерывной.
Если \(x > a\), то \(f(x) = 5x-5a + 3|x + 2|\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(5 \pm 3 > 0\).
Если \(x < a\), то \(f(x) = -5x + 5a + 3|x + 2|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-5 \pm 3 < 0\).
Следовательно, \(x = a\) является точкой минимума. Исходное неравенство будет иметь хотя бы 1 решение, если \(f(a) \le 9\).
\(f(a) = 3|2 + a| \le 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,|a + 2| \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-3 \le a + 2 \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-5 \le a \le 1.\)
Ответ: \([-5;1]\).