39В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + {y^2} = 4\cos 2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt y + {z^2} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {a-2} \right)}^2} = \left| {\,{z^2}-2z\,} \right| + \left| {\,\sin 4x\,} \right| + 4}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
Решение
\(\left\{ \begin{array}{l}a + {y^2} = 4\cos 2x,\\\sqrt y + {z^2} = a,\\{(a-2)^2} = \,|{z^2}-2z| + |\sin 4x| + 4.\end{array} \right.\)
Из второго уравнения \(\sqrt y + {z^2} = a\), следует, что \(a \ge 0\).
Из первого уравнения \(a + {y^2} = 4\cos 2x\), так как \({y^2} \ge 0\) и \(-4 \le 4\cos 2x \le 4\), следует, что \(a \le 4\).
Из третьего уравнения \({(a-2)^2} = |{z^2}-2z| + |\sin 4x| + 4\), так как \(|{z^2}-2z| + |\sin 4x| + 4 \ge 4\), то:
\({(a-2)^2} \ge 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in (-\infty ;0] \cup [4;\infty ).\)
Таким образом, учитывая все условия, параметр a может принимать значения \(a = 0\) и \(a = 4\).
Если \(a = 0\), то исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 4\cos 2x,\\\sqrt y + {z^2} = 0,\\|{z^2}-2z| + |\sin 4x| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}y = 0,\\z = 0,\\x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},{\rm{ }}k \in Z.\end{array} \right.\)
Следовательно, значение \(a = 0\) подходит.
Если \(a = 4\), то исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}4 + {y^2} = 4\cos 2x,\\\sqrt y + {z^2} = 4,\\|{z^2}-2z| + |\sin 4x| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}y = 0,\\z = 2,\\x = \pi k,{\rm{ }}k \in Z.\end{array} \right.\)
Следовательно, значение \(a = 4\) подходит.
Ответ: \(0;{\rm{ }}4\).