\({\cos ^{18}}x + {(5\cos x-a)^9} + {\cos ^2}x + 5\cos x = a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{({\cos ^2}x)^9} + {\cos ^2}x = {(a-5\cos x)^9} + a-5\cos x.\)
Рассмотрим функцию \(f(t) = {t^9} + t\), которая является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, так как \(f'(t) = 9{t^8} + 1 > 0\) при \(t \in R\). В силу возрастания функции \(y = f\left( t \right)\) равенство \(f\left( b \right) = f\left( c \right)\) возможно только в том случае, если \(b = c\). В нашем примере \(b = {\cos ^2}x,\,\,\,\,c = a-5\cos x.\) Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
\({\cos ^2}x = a-5\cos x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}x + 5\cos x-a = 0.\)
Пусть \(\cos x = z\), где \(z \in [-1;1]\). Тогда: \({z^2} + 5z-a = 0\).
Рассмотрим функцию \(f(z) = {z^2} + 5z-a\), графиком которой является парабола ветвями направленными вверх. Так как \({z_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{5}{2}\), то последнее уравнение будет иметь решение принадлежащее промежутку \([-1;1]\), если выполнятся условия:
\(\left\{ \begin{array}{l}f(-1) \le 0,\\f(1) \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}f(-1) = -4-a \le 0,\\f(1) = 6-a \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in {\rm{[}}-{\rm{4;6]}}\)
Ответ: \([-4;6]\).