40В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + \sqrt y = 2sin3x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left| {\,y\,} \right| + {z^4} = 8a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {a-1} \right)}^2} = \left| {\,{z^2} + 2z\,} \right| + \left| {\,\sin 6x\,} \right| + 1}\end{array}} \right.\) имеет хотя бы одно решение.
Решение
\(\left\{ \begin{array}{l}a + \sqrt y = 2\sin 3x,\\|y| + {z^4} = 8a,\\{(a-1)^2} = |{z^2} + 2z| + |\sin 6x| + 1.\end{array} \right.\)
Из первого уравнения \(a + \sqrt y = 2\sin 3x\), так как \(\sqrt y \ge 0\) и \(-2 \le 2\sin 3x \le 2\), то \(a \le 2\).
Из второго уравнения \(|y| + {z^4} = 8a\), следует, что \(a \ge 0\).
Из третьего уравнения \({(a-1)^2} = |{z^2} + 2z| + |\sin 6x| + 1\), так как \(|{z^2} + 2z| + |\sin 6x| + 1 \ge 1\), то:
\({(a-1)^2} \ge 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in (-\infty ;0] \cup [2;\infty ).\)
Таким образом, учитывая все условия, параметр a может принимать значения \(a = 0\) и \(a = 2\).
Если \(a = 0\), то исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt y = 2\sin 3x,\\|y| + {z^4} = 0,\\|{z^2} + 2z| + |\sin 6x| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}y = 0,\\z = 0,\\x = \dfrac{{\pi k}}{3},{\rm{ }}k \in Z.\end{array} \right.\)
Следовательно, значение \(a = 0\) подходит.
Если \(a = 2\), то исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 + \sqrt y = 2\sin 3x,\\|y| + {z^4} = 16,\\|{z^2} + 2z| + |\sin 6x| = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}y = 0,\\z = -2,\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{2\pi k}}{3},{\rm{ }}k \in Z.\end{array} \right.\)
Следовательно, значение \(a = 2\) подходит.
Ответ: \(0;{\rm{ 2}}\).