Задача 41. Решите уравнение: \(1-2x-{x^2} = {\text{t}}{{\text{g}}^2}\left( {\,x + y\,} \right) + {\text{ct}}{{\text{g}}^2}\left( {\,x + y\,} \right).\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\,-1;\,1 + \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi \,n}}{2}} \right),\;\;n \in Z.\)
Решение
\(1-2x-{x^2} = {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right) + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2-{\left( {x + 1} \right)^2} = {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right) + \dfrac{1}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right)}}.\)
Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\). Поэтому правая часть уравнения \({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right) + \dfrac{1}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right)}}\) принимает значения \(\,\left[ {2;\, + \infty } \right),\) а правая часть \(2-{\left( {x + 1} \right)^2}\) соответственно \(\,\left( {-\infty ;\,2} \right]\). Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2-{{\left( {x + 1} \right)}^2} = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right) + \dfrac{1}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {x + y} \right)}} = 2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = -1,\\{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {y-1} \right) = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = -1,\\y = 1 + \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + \dfrac{{{\rm{\pi }}n}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,n \in Z.\)
Ответ: \(\left( {\,-1;\,1 + \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + \dfrac{{{\rm{\pi }}\,n}}{2}} \right),\;\;n \in Z.\)