\(\sqrt[5]{{5|x + 4| + 2|x-a|-2}} \le \sqrt[5]{{2 + \sqrt {36-{y^2}} }} + \ln \dfrac{{5 + \sqrt {36-{y^2}} }}{{5|x + 4| + 2|x-a| + 1}}\)
Пусть \(5|x + 4| + 2|x-a|-2 = t\), где \(t \ge -2\) и \(2 + \sqrt {36-{y^2}} = z\), где \(z \ge 2.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\sqrt[5]{t} \le \sqrt[5]{z} + \ln \dfrac{{z + 3}}{{t + 3}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt[5]{t} \le \sqrt[5]{z} + \ln |z + 3|-\ln |t + 3|.\)
Так как \(z + 3 > 0\) и \(t + 3 > 0\), то последнее неравенство примет вид:
\(\sqrt[5]{t} + \ln \left( {t + 3} \right) \le \sqrt[5]{z} + \ln \left( {z + 3} \right).\)
Функция \({f_1}(b) = \sqrt[5]{b} + \ln \left( {b + 3} \right)\) является монотонно возрастающей при \(b > -3\), так как является суммой двух возрастающих функций.
Следовательно, последнее неравенство имеет хотя бы одно решение, если \(t \le z.\)
\(5|x + 4| + 2|x-a|-2 \le 2 + \sqrt {36-{y^2}} \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,5|x + 4| + 2|x-a| \le 4 + \sqrt {36-{y^2}} .\)
Так как правая часть последнего неравенства \(4 + \sqrt {36-{y^2}} \) принимает значения \([4;10]\), то оно будет иметь решение, если:
\(5|x + 4| + 2|x-a| \le 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,5|x + 4| + 2|x-a|-10 \le 0.\)
Рассмотрим функцию \({f_2}(x) = 5|x + 4| + 2|x-a|-10\), которая является непрерывной.
Если \(x > -4\), то \({f_2}(x) = 5x + 2|x-a| + 10\) возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(5 \pm 2 > 0\).
Если \(x < -4\), то \({f_2}(x) = -5x + 2|x-a|-30\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-5 \pm 2 < 0\).
Поэтому точка \(x = -4\) является точкой минимума и последнее неравенство будет иметь хотя бы одно решение, если \({f_2}(-4) \le 0\):
\(2|a + 4| \le 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-5 \le a + 4 \le 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-9 \le a \le 1.\)
Ответ: \([-9;1]\).