\({a^2} + 6|x| + 5\sqrt {3{x^2} + 25} = 3x + 2|x-5a|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a^2} + 5\sqrt {3{x^2} + 25} = 3x + 2|x-5a|-6|x|.\)
Функция \(f(x) = {a^2} + 5\sqrt {3{x^2} + 25} \) является четной и при \(x \le 0\) убывает, а при \(x \ge 0\) возрастает, то есть \(x = 0\) является точкой минимума.
Функция \(g(x) = 3x + 2|x-5a|-6|x|\) при \(x < 0\) примет вид: \(g(x) = 9x + 2|x-5a|\), которая возрастает так как сумма коэффициентов перед x: \(9 \pm 2 > 0\), а при \(x > 0\) \(g(x) = -3x + 2|x-5a|\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-3 \pm 2 < 0\), то есть \(x = 0\) точка максимума функции \(g(x)\).
Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы 1 корень, если \(f(0) \le g(0)\):
\(f(0) = {a^2} + 25;{\rm{ }}\,\,\,\,g(0) = 10|a|.\)
\({a^2} + 25 \le 10|a|\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left| a \right|^2}-10|a| + 25 \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left( {|a|-5} \right)^2} \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,|a| = 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,a = \pm 5.\)
Ответ: \( \pm 5\).