\({a^2} + 8|x-5| + 2\sqrt {{x^2}-10x + 29} + 25 = 5x + 2|x-2a-5|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a^2} + 2\sqrt {{{(x-5)}^2} + 4} + 25 = 5x + 2|x-2a-5|-8|x-5|.\)
Функция \(f(x) = {a^2} + 2\sqrt {{{(x-5)}^2} + 4} + 25\) при \(x \le 5\) убывает, а при \(x \ge 5\) возрастает, то есть \(x = 5\) является точкой минимума.
Функция \(g(x) = 5x + 2|x-2a-5|-8|x-5|\) при \(x < 5\) примет вид: \(g(x) = 13x + 2|x-2a-5|-40\) которая возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(13 \pm 2 > 0\), а при \(x > 5\) \(g(x) = -3x + 2|x-2a-5| + 40\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-3 \pm 2 < 0\), то есть \(x = 5\) точка максимума функции \(g(x)\).
Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если \(f(5) \le g(5)\).
\(f(5) = {a^2} + 29;{\rm{ }}\,\,\,\,g(5) = 25 + 4|a|.\)
\({a^2} + 29 \le 25 + 4|a|\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left| a \right|^2}-4|a| + 4 \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left( {|a|-2} \right)^2} \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,|a| = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,a = \pm 2.\)
Ответ: \( \pm 2\).