Задача 44. Решите уравнение: \(4{\sin ^2}xy + 4\sin xy + 3 = \dfrac{4}{{\ln \,\left| {\,y\,} \right| + {{\log }_{\left| {\,y\,} \right|}}e}}.\)
ОТВЕТ: \(\left( {\,{{\left( {-1} \right)}^n}\,\dfrac{\pi }{{6e}} + \dfrac{{\pi \,n}}{e};\,-e} \right),\) \(\left( {\,{{\left( {-1} \right)}^{n + 1}}\,\dfrac{\pi }{{6e}} + \dfrac{{\pi \,n}}{e};\,e} \right),\;n \in Z.\)
\(4{\sin ^2}xy + 4\sin xy + 3 = \dfrac{4}{{\ln \left| y \right| + {{\log }_{\left| y \right|}}e}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {2\sin \left( {xy} \right) + 1} \right)^2} + 2 = \dfrac{4}{{\ln \left| y \right| + \dfrac{1}{{\ln \left| y \right|}}}}.\) Воспользуемся тем, что \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\) и \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \le -2,\) если \(f\left( x \right) < 0\). Поэтому выражение \(\ln \left| y \right| + \dfrac{1}{{\ln \left| y \right|}}\) принимает значения \(\,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\) и права часть \(\dfrac{4}{{\ln \left| y \right| + \dfrac{1}{{\ln \left| y \right|}}}}\) принимает значения \(\left[ {-2;\,0} \right) \cup \,\left( {0;\,2} \right].\) В свою очередь левая часть \({\left( {2\sin \left( {xy} \right) + 1} \right)^2} + 2\) принимает значения \(\left[ {2;\,\infty } \right).\) Поэтому уравнение будет иметь решение, если: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{{\ln \left| y \right| + \dfrac{1}{{\ln \left| y \right|}}}} = 2,\\{\left( {2\sin \left( {xy} \right) + 1} \right)^2} + 2 = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\ln \left| y \right| = 1,\\\sin \left( {xy} \right) = -\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = e,\\x = {\left( {-1} \right)^{n + 1}}\dfrac{{\rm{\pi }}}{{6e}} + \dfrac{{{\rm{\pi }}n}}{e},\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = -e,\\x = {\left( {-1} \right)^n}\dfrac{{\rm{\pi }}}{{6e}}-\dfrac{{{\rm{\pi }}n}}{e},\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,n \in Z.\) Ответ: \(\left( {\,{{\left( {-1} \right)}^n}\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{{6e}}-\dfrac{{{\rm{\pi }}\,n}}{e};\,-e} \right),\) \(\left( {\,{{\left( {-1} \right)}^{n + 1}}\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{{6e}} + \dfrac{{{\rm{\pi }}\,n}}{e};\,e} \right),\;n \in Z.\)