\({a^2} + 16|x| + 36{\log _6}(5{x^2} + 6) = 6a + 3|5x-6a|\)
Запишем исходное уравнение в виде:
\({a^2} + 36{\log _6}(5{x^2} + 6) = 6a + 3|5x-6a|-16|x|.\)
Функция \(f(x) = {a^2} + 36{\log _6}(5{x^2} + 6)\) является чётной \(\left( {f\left( {-x} \right) = f\left( x \right)} \right)\) и при \(x \le 0\) убывает, а при \(x \ge 0\) возрастает, то есть \(x = 0\) является точкой минимума.
Функция \(g(x) = 6a + 3|5x-6a|-16\left| x \right|\) при \(x < 0\) примет вид: \(g(x) = 6a + 3|5x-6a| + 16x\) которая возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(16 \pm 15 > 0\), а при \(x > 0\) \(g(x) = 6a + 3|5x-6a|-16x\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-16 \pm 15 < 0\), то есть \(x = 0\) точка максимума функции \(g(x)\).
Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы 1 корень, если \(f(0) \le g(0)\).
\(f(0) = {a^2} + 36;\,\,\,\,\,{\rm{ }}g(0) = 6a + 18|a|.\)
\({a^2} + 36 \le 6a + 18|a|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\{a^2}-24a + 36 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\\,{\left( {a + 6} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0,\\12-6\sqrt 3 \le a \le 12 + 6\sqrt 3 ,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\a = -6\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left\{ {-6} \right\} \cup \left[ {12-6\sqrt 3 ;12 + 6\sqrt 3 } \right].\)
Ответ: \(\left\{ {-6} \right\} \cup \left[ {12-6\sqrt 3 ;12 + 6\sqrt 3 } \right]\).