Задача 45. Решите уравнение: \(\left( {\,{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,\left( {1 + {\text{t}}{{\text{g}}^2}2y} \right)\,\,\left( {3 + \sin 3z} \right) = 4.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\,\pi \,n;\,\dfrac{{\pi \,k}}{2};\,-\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{2\pi \,m}}{3}} \right),\;\;n,k,m \in Z.\)
Решение
\(\left( {{{\cos }^2}x + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\left( {1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}2y} \right)\left( {3 + \sin 3z} \right) = 4\)
Так как \(f\left( x \right) + \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \ge 2\), если \(f\left( x \right) > 0\), то \({\cos ^2}x + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \ge 2.\) Второй множитель левой части \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}2y \ge 1,\) а третий \(2 \le 3 + \sin 3z \le 4.\)
Поэтому уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 2,}\\{1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}2y = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{3 + \sin 3z = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x = 1,\\{\rm{tg}}2y = 0,\\\sin 3z = -1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{\pi }}n,\\y = \dfrac{{{\rm{\pi }}k}}{2},\\z = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}m}}{3}\end{array} \right.\,\,\,n,k,m \in Z.\)
Ответ: \(\left( {\,{\rm{\pi }}\,n;\,\dfrac{{{\rm{\pi }}\,k}}{2};\,-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}\,m}}{3}} \right),\;\;n,k,m \in Z.\)