\({a^2} + 10\left| {x-7} \right| + 16{\log _4}\left( {{x^2}-14x + 53} \right) = 4a + 3\left| {x-4a-7} \right|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a^2} + 16{\log _4}\left( {{{\left( {x-7} \right)}^2} + 4} \right) = 4a + 3\left| {x-4a-7} \right|-10\left| {x-7} \right|.\)
Функция \(f\left( x \right) = {a^2} + 16{\log _4}\left( {{{\left( {x-7} \right)}^2} + 4} \right)\) при \(x < 7\)убывает, а при \(x > 7\) возрастает, то есть \(x = 7\) точка минимума.
Функция \(g\left( x \right) = 4a + 3\left| {x-4a-7} \right|-10\left| {x-7} \right|\) при \(x < 7\) примет вид \(g\left( x \right) = 4a + 3\left| {x-4a-7} \right| + 10x-70\) которая возрастает, так как сумма коэффициентов перед x: \(10 \pm 3 > 0\), а при \(x > 7\)\(g\left( x \right) = 4a + 3\left| {x-4a-7} \right|-10x + 70\) убывает, так как сумма коэффициентов перед x: \(-10 \pm 3 < 0\), то есть \(x = 7\) точка максимума.
Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы \(1\)корень, если \(f\left( 7 \right) \le g\left( 7 \right):\)
\(f\left( 7 \right) = {a^2} + 16;\,\,\,\,\,\,g\left( 7 \right) = 4a + 12\left| a \right|.\)
\({a^2} + 16 \le 4a + 12\left| a \right|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\{\left( {a + 4} \right)^2} \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\{a^2}-16a + 16 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\a = -4,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\8-4\sqrt 3 \le a \le 8 + 4\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {8-4\sqrt 3 ;8 + 4\sqrt 3 } \right].\)
Ответ: \(\left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {8-4\sqrt 3 ;8 + 4\sqrt 3 } \right]\).