\(\left( {4x-{x^2}-3} \right){\log _2}\left( {{{\cos }^2}\pi x + 1} \right) \ge 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {1-{{\left( {x-2} \right)}^2}} \right){\log _2}\left( {{{\cos }^2}\pi x + 1} \right) \ge 1.\)
Так как \(1 \le {\cos ^2}\pi x + 1 \le 2\), то \(0 \le {\log _2}\left( {{{\cos }^2}\pi x + 1} \right) \le 1\). Первый множитель левой части \(1-{\left( {x-2} \right)^2} \le 1.\) Поэтому неравенство выполнится только в случае:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-{{\left( {x-2} \right)}^2} = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_2}\left( {{{\cos }^2}\pi x + 1} \right) = 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2,\\{\cos ^2}\pi x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 2.\)
Ответ: 2.