\(\cos \left( {\pi \left( {x + \dfrac{1}{2}\sin \pi x} \right)} \right) + {\left( {{{\sin }^2}\pi x + \sin \pi x} \right)^2} \le -1\)
Так как \(-1 \le \cos \left( {\pi \left( {x + \dfrac{1}{2}\sin \pi x} \right)} \right) \le 1\) и \({\left( {{{\sin }^2}\pi x + \sin \pi x} \right)^2} \ge 0\), то неравенство выполняется только в случае:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \left( {\pi \left( {x + \dfrac{1}{2}\sin \pi x} \right)} \right) = -1,}\\{{{\sin }^2}\pi x + \sin \pi x = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Из второго уравнения: \(\left[ \begin{array}{l}\sin {\rm{\pi }}x = 0,\\\sin {\rm{\pi }}x = -1.\end{array} \right.\)
Если \(\sin {\rm{\pi }}x = 0,\) то \(x = n,\,\,\,\,\,n \in Z.\) Если n – чётное, то \(x = n,\,\,\,\,\,n \in Z\) не удовлетворяет первому уравнению последней системы, если n – нечётное, то \(x = n,\,\,\,\,\,n \in Z\) удовлетворяет первому уравнению последней системы, поэтому \(x = 2n + 1,\,\,\,\,n \in Z.\)
Если \(\sin {\rm{\pi }}x = -1,\) то \(x = -\dfrac{1}{2} + 2n,\,\,\,\,\,n \in Z,\) который удовлетворяет первому уравнению последней системы.
Ответ: \(x = 2n + 1,\;\;x = 2n-\dfrac{1}{2},\;\;n \in Z.\)